Докажите, являются ли однокоренными слова: луковка, лучник.

Нет. Слово луковка образовано от существительного лук (растение); лучник – от лук (оружие); излучина – от слова лука (дугообразный поворот реки), Таким образом, это слова  с  омонимичными корнями.