Слова бег и бежать однокоренные? если да, то когда можно менять букву?

Да слова бег и бежать однокоренные,здесь идет чередование согласных Г-Ж .а вот  менять буквы хоть когда можно в любых случаях,лиж бы что бы были однокоренные.