Длинные висячие(определить падеж)ветки берез едва шевелятся.

ветки-Им.падеж 

берез-Р.падеж 

длинные-Им.падеж 

Длинные висячие относятся к слову  ветки . Так как ветки стоят в Именительном падеже, то и зависимые определения от этого слова слова, так же будут стоять в Именительном падеже.

ветки (кого? чего?) берёзы   Р.п.