В чём различие между "прописав" и "написав"? И когда пишется "прописав", а когда "написав"?

У слов разное значение.

Прописать - это:

1.  Официально зарегистрировать факт проживания кого-нибудь где-нибудь.

2.    Написав больному рецепт, назначить лечение.

3.   Провести какое-нибудь определенное время в писании, за письмом.

4.    Сделать пропись на чем-нибудь.

5.    Написать что-нибудь или о чем-нибудь в письме или заявлении.

Слово написать значит "нанести какие-либо символы на бумагу, доску и т.д." (написать письмо) или, если говорить о переносном значении, создать что-то (написать песню, картину).

То или иное слово употребляется в зависимости от того, что хочешь сказать, соответственно.