При каких значениях параметра а уравнение х^2+х+а=0 имеет ровно один корень? для каждого значения параметра а укажите соответствующий корень уравнения.
Чтобы уравнение имело ровно один корень, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю. Дискриминант обозначается как D и вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты уравнения х^2 + х + а = 0.
В данном случае коэффициенты a = 1, b = 1 (так, как перед x стоит 1), c = a.
Подставим значения коэффициентов в формулу для дискриминанта D:
D = 1^2 - 4 * 1 * a = 1 - 4a
Теперь решим уравнение D = 0, чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно один корень:
1 - 4a = 0
Перенесем 1 на другую сторону:
4a = 1
Разделим обе части на 4:
a = 1/4
Таким образом, уравнение х^2 + х + 1/4 = 0 имеет ровно один корень при значении параметра a равном 1/4. Чтобы найти этот корень, решим данное уравнение:
Для этого приведем уравнение к квадратному виду с помощью процесса завершения квадрата.
Сначала добавим к обеим сторонам уравнения 1/4:
х^2 + х + 1/4 + 1/4 = 1/4
Сложим дроби:
х^2 + х + 1/2 = 1/4
Теперь приведем левую часть уравнения к квадрату:
(x + 1/2)^2 = 1/4
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
x + 1/2 = ±√(1/4)
Упростим выражение под корнем:
x + 1/2 = ±(1/2)
Выразим x:
x = -1/2 ± 1/2
x1 = -1/2 + 1/2 = 0
x2 = -1/2 - 1/2 = -1
Таким образом, при значении параметра a = 1/4, уравнение х^2 + х + 1/4 = 0 имеет ровно один корень: x = 0.
В данном случае коэффициенты a = 1, b = 1 (так, как перед x стоит 1), c = a.
Подставим значения коэффициентов в формулу для дискриминанта D:
D = 1^2 - 4 * 1 * a = 1 - 4a
Теперь решим уравнение D = 0, чтобы найти значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно один корень:
1 - 4a = 0
Перенесем 1 на другую сторону:
4a = 1
Разделим обе части на 4:
a = 1/4
Таким образом, уравнение х^2 + х + 1/4 = 0 имеет ровно один корень при значении параметра a равном 1/4. Чтобы найти этот корень, решим данное уравнение:
Для этого приведем уравнение к квадратному виду с помощью процесса завершения квадрата.
Сначала добавим к обеим сторонам уравнения 1/4:
х^2 + х + 1/4 + 1/4 = 1/4
Сложим дроби:
х^2 + х + 1/2 = 1/4
Теперь приведем левую часть уравнения к квадрату:
(x + 1/2)^2 = 1/4
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
x + 1/2 = ±√(1/4)
Упростим выражение под корнем:
x + 1/2 = ±(1/2)
Выразим x:
x = -1/2 ± 1/2
x1 = -1/2 + 1/2 = 0
x2 = -1/2 - 1/2 = -1
Таким образом, при значении параметра a = 1/4, уравнение х^2 + х + 1/4 = 0 имеет ровно один корень: x = 0.