Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: $y=\frac{x}{x^2+16} ; [-3; 7]$

Ответ:

dancecowerbts

16.01.2024 22:32

Добрый день! Буду рад помочь вам с решением этого вопроса.

Для начала, найдем значения функции на концах заданного отрезка. Подставим -3 вместо x в функцию:
$y=\frac{-3}{(-3)^2+16} = \frac{-3}{9+16} = \frac{-3}{25}$

А теперь подставим 7 вместо x:
$y=\frac{7}{7^2+16} = \frac{7}{49+16} = \frac{7}{65}$

Таким образом, наше условие ограничивает значения функции на отрезке [-3; 7] следующим образом: $-\frac{3}{25} \leq y \leq \frac{7}{65}$ .

Осталось найти точку или точки (если они есть), где достигаются наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке. Для этого найдем производную функции y(x).

Сначала найдем производную числителя: $(x)' = 1$
Теперь найдем производную знаменателя: $(x^2+16)' = 2x$

Используем правило дифференцирования частного: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$y' = \frac{(1)(x^2+16) - (x)(2x)}{(x^2+16)^2} = \frac{x^2+16-2x^2}{(x^2+16)^2} = \frac{-x^2+16}{(x^2+16)^2}$

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:
$-x^2+16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = \pm 4$

Подставим найденные значения в функцию, чтобы найти соответствующие значения y:
Для x=4:
$y=\frac{4}{4^2+16} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Для x=-4:
$y=\frac{-4}{(-4)^2+16} = \frac{-4}{32} = -\frac{1}{8}$

Таким образом, получаем, что на отрезке [-3; 7] наибольшее значение функции равно 1/5 (при x=4), а наименьшее значение функции равно -1/8 (при x=-4).

Я надеюсь, что данное пояснение и решение будут понятны для вас. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать! Желаю успехов в учебе!

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика