Добрый день, я рад выступить в роли вашего школьного учителя! Давайте решим задачу по нахождению первообразной для функций.
а) Функция f(x) = 3sin(x) - 2cos(x).
Для начала, прежде чем искать первообразную, необходимо понять, какие свойства функции мы можем использовать для нахождения ответа. В данном случае, зная, что производная sin(x) равна cos(x), а производная cos(x) равна -sin(x), мы можем использовать эти знания для решения задачи.
Выполним дифференцирование функции f(x):
f'(x) = 3cos(x) + 2sin(x).
Теперь, чтобы найти первообразную для функции f(x), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x). Используя предыдущее соотношение, для задачи а) получаем:
F(x) = ∫(3cos(x) + 2sin(x)) dx.
Когда мы интегрируем f(x), значения при дифференциалах dx могут быть произвольными константами "C". Таким образом, ответ будет выглядеть следующим образом:
F(x) = -3sin(x) + 2cos(x) + C.
Это и есть искомая первообразная для функции f(x) = 3sin(x) - 2cos(x), где C - произвольная константа.
б) Функция g(x) = 4/√(x - x) на интервале (0, ∞).
В данном случае, у нас есть функция с обратным корнем, поэтому мы можем использовать замену переменной, чтобы облегчить интегрирование.
Проведем замену переменной: u = √(x).
Дифференцируем u по x для нахождения dx:
du/dx = 1/(2√(x)).
Теперь мы можем выразить dx через du:
dx = 2√(x) du.
Подставляем это выражение в исходную функцию g(x):
g(u) = 4/u * 2√(x) du = 8√(x)/u du.
Теперь мы можем интегрировать функцию g(u):
∫g(u) du = ∫(8√(x)/u) du.
Упрощаем:
∫g(u) du = 8∫√(x)/u du.
Интегрируем левую и правую части выражения:
∫g(u) du = 8∫1/u √(x) du = 8∫√(x)/u du.
Теперь мы получили простое выражение для интегрирования.
Интеграл ∫1/u du равен ln|u| + C, где ln - натуральный логарифм, и С - произвольная константа.
Возвращаемся к исходной переменной x:
∫√(x)/u du = ∫√(x)/(√(x)) du = ∫1 du = u + C.
Подставляем выражение из замены переменной u = √(x):
u + C = √(x) + C.
Получаем ответ:
F(x) = ∫g(u) du = 8(√(x) + C).
Искомая первообразная для функции g(x) = 4/√(x - x) на интервале (0, ∞) равна F(x) = 8(√(x) + C), где С - произвольная константа.
Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным для вас! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.
а) Функция f(x) = 3sin(x) - 2cos(x).
Для начала, прежде чем искать первообразную, необходимо понять, какие свойства функции мы можем использовать для нахождения ответа. В данном случае, зная, что производная sin(x) равна cos(x), а производная cos(x) равна -sin(x), мы можем использовать эти знания для решения задачи.
Выполним дифференцирование функции f(x):
f'(x) = 3cos(x) + 2sin(x).
Теперь, чтобы найти первообразную для функции f(x), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x). Используя предыдущее соотношение, для задачи а) получаем:
F(x) = ∫(3cos(x) + 2sin(x)) dx.
Когда мы интегрируем f(x), значения при дифференциалах dx могут быть произвольными константами "C". Таким образом, ответ будет выглядеть следующим образом:
F(x) = -3sin(x) + 2cos(x) + C.
Это и есть искомая первообразная для функции f(x) = 3sin(x) - 2cos(x), где C - произвольная константа.
б) Функция g(x) = 4/√(x - x) на интервале (0, ∞).
В данном случае, у нас есть функция с обратным корнем, поэтому мы можем использовать замену переменной, чтобы облегчить интегрирование.
Проведем замену переменной: u = √(x).
Дифференцируем u по x для нахождения dx:
du/dx = 1/(2√(x)).
Теперь мы можем выразить dx через du:
dx = 2√(x) du.
Подставляем это выражение в исходную функцию g(x):
g(u) = 4/u * 2√(x) du = 8√(x)/u du.
Теперь мы можем интегрировать функцию g(u):
∫g(u) du = ∫(8√(x)/u) du.
Упрощаем:
∫g(u) du = 8∫√(x)/u du.
Интегрируем левую и правую части выражения:
∫g(u) du = 8∫1/u √(x) du = 8∫√(x)/u du.
Теперь мы получили простое выражение для интегрирования.
Интеграл ∫1/u du равен ln|u| + C, где ln - натуральный логарифм, и С - произвольная константа.
Возвращаемся к исходной переменной x:
∫√(x)/u du = ∫√(x)/(√(x)) du = ∫1 du = u + C.
Подставляем выражение из замены переменной u = √(x):
u + C = √(x) + C.
Получаем ответ:
F(x) = ∫g(u) du = 8(√(x) + C).
Искомая первообразная для функции g(x) = 4/√(x - x) на интервале (0, ∞) равна F(x) = 8(√(x) + C), где С - произвольная константа.
Надеюсь, это объяснение было понятным и полезным для вас! Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.