Внекотором водоеме караси составляют 40% от всего количества рыбы. рыбак поймал 5 рыбок. требуется: 1) найти закон распределения случайной величины у - числа пойманных карасей 2) построить многоугольник распределения 3) вычислить вероятность того, что среди выловленных рыбаком рыб окажется: а) не более четырех карасей, б) не менее трех карасей, в) хотя бы один карась 4) найти наивероятнейшее число пойманных карасей в выборке 5) найти м(х), d(x), σ(x)
Поскольку караси составляют 40% от всего количества рыбы, то вероятность поймать 0 карасей составляет (60% * 60%) = 0.36. Вероятность поймать 1 карася составляет (40% * 60%) + (60% * 40%) = 0.48. Вероятность поймать 2 карасей составляет (40% * 40%) = 0.16.
Таким образом, закон распределения случайной величины у имеет вид:
у = 0 с вероятностью 0.36,
у = 1 с вероятностью 0.48,
у = 2 с вероятностью 0.16.
2) Многоугольник распределения показывает вероятности каждого значения случайной величины. Для этого нужно построить график с осями, где по оси x будут откладываться значения у (0, 1, 2), а по оси y - соответствующие вероятности (0.36, 0.48, 0.16). Затем, по точкам на графике проводятся линии, чтобы образовать многоугольник.
3) Для вычисления вероятности каждого запроса, нужно сложить вероятности соответствующих значений случайной величины.
а) Чтобы найти вероятность поймать не более четырех карасей (0, 1, 2), нужно сложить вероятности каждого значения:
P(у ≤ 4) = P(у = 0) + P(у = 1) + P(у = 2) = 0.36 + 0.48 + 0.16 = 1.
б) Чтобы найти вероятность поймать не менее трех карасей (2, 3, 4), нужно сложить вероятности каждого значения:
P(у ≥ 3) = P(у = 2) + 0 = 0.16
в) Чтобы найти вероятность поймать хотя бы одного карася (1, 2, 3, 4), нужно сложить вероятности каждого значения:
P(у ≥ 1) = P(у = 1) + P(у = 2) = 0.48 + 0.16 = 0.64.
4) Наивероятнейшее число пойманных карасей в выборке - это значение, у которого вероятность является максимальной. В данном случае, максимальная вероятность соответствует значению у = 1, поэтому наивероятнейшее число пойманных карасей в выборке = 1.
5) Для нахождения математического ожидания (m) и дисперсии (d), необходимо использовать следующие формулы:
m(x) = Σ (xi * Pi), где xi - значения у, а Pi - соответствующие вероятности. В данном случае это: (0 * 0.36) + (1 * 0.48) + (2 * 0.16) = 0.48 + 0.32 = 0.8.
d(x) = Σ [(xi - m(x))^2 * Pi], где xi - значения у, m(x) - математическое ожидание, а Pi - соответствующие вероятности. В данном случае это: [(0 - 0.8)^2 * 0.36] + [(1 - 0.8)^2 * 0.48] + [(2 - 0.8)^2 * 0.16] = (0.8^2 * 0.36) + (0.2^2 * 0.48) + (1.2^2 * 0.16) = 0.2304 + 0.0192 + 0.3456 = 0.5952.
σ(x) = √d(x) = √0.5952 = 0.7714.
Итак, математическое ожидание (m) равно 0.8, дисперсия (d) равна 0.5952, а стандартное отклонение (σ) равно 0.7714.