Добрый день! Большое спасибо за интересный вопрос. Давайте разберем этот интеграл шаг за шагом.
Перед тем, как приступить к вычислению интеграла, давайте разберемся, что означают символы || и |-|-|. Символ ||x-1|| означает модуль разности (x-1), то есть, если (x-1) > 0, то модуль будет равен (x-1), а если (x-1) < 0, то модуль будет равен -(x-1). Символ |-x-| означает модуль числа -x.
Теперь, мы знаем, что наше выражение выглядит так: 0∫3 ||x-1|-2| dx.
Для начала, давайте упростим выражение |x-1|, разделив его на два случая: (x-1) и -(x-1). Таким образом, мы рассмотрим два интеграла по отдельности:
1) 0∫3 ((x-1) - 2) dx, когда (x-1) ≥ 0.
2) 0∫3 (-(x-1) - 2) dx, когда (x-1) < 0.
Теперь рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности:
Перед тем, как приступить к вычислению интеграла, давайте разберемся, что означают символы || и |-|-|. Символ ||x-1|| означает модуль разности (x-1), то есть, если (x-1) > 0, то модуль будет равен (x-1), а если (x-1) < 0, то модуль будет равен -(x-1). Символ |-x-| означает модуль числа -x.
Теперь, мы знаем, что наше выражение выглядит так: 0∫3 ||x-1|-2| dx.
Для начала, давайте упростим выражение |x-1|, разделив его на два случая: (x-1) и -(x-1). Таким образом, мы рассмотрим два интеграла по отдельности:
1) 0∫3 ((x-1) - 2) dx, когда (x-1) ≥ 0.
2) 0∫3 (-(x-1) - 2) dx, когда (x-1) < 0.
Теперь рассмотрим каждый из этих интегралов по отдельности:
1) 0∫3 ((x-1) - 2) dx:
= 0∫3 (x-3) dx
= (1/2)x^2 - 3x + C, где С - произвольная постоянная.
2) 0∫3 (-(x-1) - 2) dx:
= - 0∫3 (x-1) + 2 dx
= - (1/2)x^2 + x - 2x + C
= - (1/2)x^2 - x + C, где C - произвольная постоянная.
Теперь, чтобы получить окончательный ответ, нужно сложить результаты двух интегралов:
Итак, итоговый ответ: (1/2)x^2 - 3x + (-(1/2)x^2 - x) + C.
Пользуясь свойствами сложения и вычитания, можно сократить однотипные слагаемые и получить:
Итоговый ответ: -4x - 3 + C.
Это окончательный ответ на интеграл 0∫3 ||x-1|-2| dx.