Примем сторону основания за а.
Площадь основания равна а²3√3/2.
Проекция бокового ребра на основание равна а.
Тогда высота пирамиды Н = √(1 - а²).
Отсюда определяем функцию зависимости объёма пирамиды от величины стороны основания.
V = (1/3)SoH = (1/3)*(а²3√3/2)*√(1 - а²) = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6.
Производная этой функции равна y' = (а√3(2 - 3a²))/(2*√(1 - а²)).
Приравняем её нулю (достаточно числитель при условии а ≠ 1.
а√3(2 - 3a²) = 0,
2√3а - 3√3а³ = 0,
а(2√3- 3√3а²) = 0,
Получаем 3 корня. а = 0 (не принимаем), а = √(2/3) и а = -√(2/3), который тоже не принимаем.
ответ: сторона основания пирамиды с боковым ребром 1, при которой её объем будет наибольшим, равна √(2/3.
Объём равен V = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6 = 2/6 = 1/3.
Примем сторону основания за а.
Площадь основания равна а²3√3/2.
Проекция бокового ребра на основание равна а.
Тогда высота пирамиды Н = √(1 - а²).
Отсюда определяем функцию зависимости объёма пирамиды от величины стороны основания.
V = (1/3)SoH = (1/3)*(а²3√3/2)*√(1 - а²) = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6.
Производная этой функции равна y' = (а√3(2 - 3a²))/(2*√(1 - а²)).
Приравняем её нулю (достаточно числитель при условии а ≠ 1.
а√3(2 - 3a²) = 0,
2√3а - 3√3а³ = 0,
а(2√3- 3√3а²) = 0,
Получаем 3 корня. а = 0 (не принимаем), а = √(2/3) и а = -√(2/3), который тоже не принимаем.
ответ: сторона основания пирамиды с боковым ребром 1, при которой её объем будет наибольшим, равна √(2/3.
Объём равен V = (а²3√3/2)*√(1 - а²)/6 = 2/6 = 1/3.