Так как sin2x+a2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin2x+a2+1.
Неравенство примет вид:
a–(a2–2a–3)cosx+4 < sin2x+a2+1.
sin2x=1–cos2x;
cos2x–(a2–2a–3)cosx+2+a–a2 < 0
На [–π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].
Обозначим сosx=t.
Переформулируем задачу.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 < 0 при всех t∈[0;1]
Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].
Так как sin2x+a2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin2x+a2+1.
Неравенство примет вид:
a–(a2–2a–3)cosx+4 < sin2x+a2+1.
sin2x=1–cos2x;
cos2x–(a2–2a–3)cosx+2+a–a2 < 0
На [–π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].
Обозначим сosx=t.
Переформулируем задачу.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 < 0 при всех t∈[0;1]
Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].
Это условие принимает вид
{f(0) < 0
{f(1) < 0
Тогда для всех точек t∈[0;1]
будет выполняться неравенство: f(t) < 0
[a2+a+2 < 0;
{–2a2+3a+6 < 0
или
{a2–a–2 > 0; D=1+8=9 корни –1 и 2
{2a2–3a–6 > 0 D=9–4•2•(–6)=9+48=57
корни (3–√57)/4 и (3+√57)/4
__(3–√57)/4__–12(3–√57)/4
О т в е т. (–∞; (3–√57)/4)U((3+√57)/4;+∞)