Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

Ответ:

херфигзнает

09.10.2020 13:35

Пусть это числа

$a_1\leqslant a_2\leqslant\dots\leqslant a_k\leqslant 0$

Заметим, что если сумма всех чисел равна 0, то сумма положительных чисел должна быть равна сумме неположительных, а суммы модулей равны:

$a_1+a_2+\dots+ a_k=-(a_{k+1}+\dots+a_n)\\|a_1|+|a_2|+\dots |a_k|=|a_{k+1}|+\dots+|a_n|$

Поскольку сумма модулей всех чисел равна a, то сумма модулей только положительных или только неположительных чисел равна a/2.

Оцениваем по принципу Дирихле:

$-a_1=|a_1|\geqslant \dfrac{|a_1|+\dots+|a_k|}{k}=\dfrac a{2k}\\a_n=|a_n|\geqslant \dfrac{|a_{k+1}|+\dots+|a_n|}{n-k}=\dfrac a{2(n-k)}$

Складываем и получаем

$a_n-a_1\geqslant\dfrac{a}{2k}+\dfrac{a}{2(n-k)}=\dfrac{an}{2k(n-k)}=\dfrac{a}{2n\cdot\frac kn(1-\frac kn)}$

Функция f(x) = x(1 - x) - квадратичная, принимает максимальное значение в вершине параболы, оно равно f(1/2) = 1/4. Тогда

$a_n-a_1\geqslant\dfrac{a}{2n\cdot\frac kn(1-\frac kn)}\geqslant\dfrac{a}{2n\cdot\frac14}=\dfrac{2a}n$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Kotbarsikrulit

04.06.2020 02:20

НагецБлайзер

20.08.2020 20:03

Luba0111

16.02.2020 06:11

Решить 2 уровнения : 7,6 - 0,4х = -3,2 4,5/-0,6 = у/2,4...

Лолик1112

13.11.2020 20:52

selihanova

21.01.2021 17:13

Найдите среднее арифметическое чисел: ...

HateLove7

31.12.2020 14:22

Желейка0Анжелька

23.09.2022 08:25

vkuke

15.05.2020 23:31

dimalol3373

17.03.2020 05:11

ketti00000

11.06.2020 04:08

Номер 12(а) краткую запись запишите. 23 за 2 мин...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку