Все натуральные числа покрасили в пять цветов. докажите, что найдётся миллион чисел одного цвета с одинаковой суммой цифр.

Числа 1, 10, 100, 1000, ... все имеют одинаковую сумму цифр (1). Их бесконечно много, значит, среди них найдется миллион чисел, раскрашенных одинаково (в противном случае каждого из пяти цветов было бы не больше 999999, а всего - не более 4999995).