Сделать полное исследование функции y=(9x⁴/)³/3)x+0.5

ДАНО: Y(x) = 9/4*x⁴ - 13/3*x² + 1/2 .

ИССЛЕДОВАНИЕ:

Заполняем таблицу - таблица в приложении.

Описание ГЛАЗАМИ: Функция четвертого порядка с положительным коэффициентом - примерно парабола и ветви вверх. Должно быть четыре корня.

1. Область определения. Непрерывная. Разрывов нет.  

Dx = (-∞;+∞)

2. Корни функции: х1 = - 1,95 и х3 = -0,52. Двух других нет. Нахождение самих корней - без комментариев.

3. Интервалы знакопостоянства (дополнительно к таблице).

Положительна: Y>0  X∈(-∞;-1.95)∪(-0.52;+∞) - вне корней.

Отрицательна: Y<0   X∈(-1.95;-0.52) - между корней.

4. Поиск экстремумов по первой производная функции .

Y'(x) = 9*x³ +13*x² = x²*(x + 13/9) = 0

Точки экстремумов: x 5 = - 13/9 (- 1,44), x6 = 0, x7 = 0

5 Ymin(х5) = Y(-1,44) = ,  Ymax(х6) = Y(x7) = (не максимальное) = +∞  

6. Интервалы монотонности.

Убывает: Х∈(-∞;x5=-0.96) Возрастает: Х∈(х5=-0,96;+∞)

7, Поиск точек перегиба по второй производной

Y"(x) = 27*x² +26х = х*(х + 26/27) = 0

x8 = - 26/27 (≈-0,96) и х9 = 0 - точки перегиба.

8. Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;х8=-0,96)∪(х9=0;+∞) - вне корней.

Выпуклая - "горка" - Х∈(х8=-0,96);(х9=0))

Строим график - график на рисунке  в приложении.