Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного объема v=50 м^3 (v примерно 16п). каковы должны быть размеры бака (радиус r и высота h), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Выразим из этой формулы высоту цилиндра H=VπR2=50,653ππR2=50,653R2
Площадь полной поверхности открытого цилиндрического бака можно вычислить по формуле S=πR2+2πRH=πR2+2πR⋅50,653R2=πR2+101,306π⋅R−1
Найдём минимум этой функции одной переменной. Для этого вычислим производную и определим критические точки. S′=(πR2+101,306π⋅R−1)′=2πR−101,306πR−2=2πR3−101,306πR2
Производная не существует, если R=0.
S′=0⇒2πR3−101,306π=0⇒R3=50,653⇒R=3,7
Отметим эти значения на координатной прямой и oпределим знак производной на трёх полученных числовых интервалах.
Oбъём цилиндра можно вычислить по формуле V=πR2H
Выразим из этой формулы высоту цилиндра H=VπR2=50,653ππR2=50,653R2
Площадь полной поверхности открытого цилиндрического бака можно вычислить по формуле S=πR2+2πRH=πR2+2πR⋅50,653R2=πR2+101,306π⋅R−1
Найдём минимум этой функции одной переменной. Для этого вычислим производную и определим критические точки. S′=(πR2+101,306π⋅R−1)′=2πR−101,306πR−2=2πR3−101,306πR2
Производная не существует, если R=0.
S′=0⇒2πR3−101,306π=0⇒R3=50,653⇒R=3,7
Отметим эти значения на координатной прямой и oпределим знак производной на трёх полученных числовых интервалах.
На рисунке R=3,7 обозначим через a.