Войти Регистрация Спроси ai-bota

Надо доказать методом индукции, что 6^2n +3^(n+2)+3^n делится на 11

Ответ:

Lika8911

09.10.2020 03:32

При n=1
6²+3³+3=36+27+3=66 делится на 11

пусть при n=k
$6^{2k} +3^{k+2}+3^k = \\ = {6}^{2k} + {3}^{k} ( {3}^{2} + 1) = \\ = {6}^{2k} +10 \cdot {3}^{k}$
делится на 11

докажем , что при n=k+1
$6^{2(k + 1)} +3^{(k + 1)+2}+3^{k + 1}$
делится на 11

$6^{2k + 2} +3^{k + 3}+3^{k + 1} = \\ = 36 \cdot {6}^{2k} + {3}^{k } ( {3}^{3} + 3) = \\ = 36 \cdot {6}^{2k} + 30 \cdot {3}^{k } = \\ = 33\cdot {6}^{2k} + 3\cdot {6}^{2k} + \\ + 3 \cdot 10\cdot {3}^{k } = \\ = 11 \cdot {3}\cdot {6}^{2k} + \\ + 3({6}^{2k} + 10\cdot {3}^{k })$
полученная сумма делится на 11, так как очевидно, что
$a = 11 \cdot {3}\cdot {6}^{2k}$
делится на 11
и
$b = ({6}^{2k} + 10\cdot {3}^{k })$
по предположению матиндукции

Значит их линейная комбинация
a+3b
тоже делится на 11
что и требовалось доказать

Значит, при любом натуральном n

$6^{2n} +3^{n+2}+3^n$

делится на 11

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

cat493

16.04.2020 05:55

Впервый день магазин продал 36 процентов поступившей гречневой крупы во второй 5 8 остатка после чего в магазине осталось 48 кг крупы...

SakuraHarunoo

16.04.2020 05:55

Сократить дроби и к наименьшему общему знаменателю. 10/15 и 5/20...

kindness5

16.04.2020 05:55

Впоселке городского типа построили a одноэтажных домов , а двух этажных на b домов меньше. сколько всего новых домов построили в поселке?...

sirghost743

16.04.2020 05:55

Найдите объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 4 м, 5 м и 7 дм...

bassanova46

16.04.2020 05:55

Саша начертил 12 фигур и стал их раскрашивать.3 фигуры он раскрасил в синий цвет 5 фигур в красный,а остальные фигуры в зеленый,причем 1фигура осталась незакрашенной.на...

arteommartiashev

16.04.2020 05:55

Две моторные лодки выехали одновременно навстречу друг другу от пристаней а и в. первая проходит расстояние между а и в за 4 часа, вторая за 5 часов. состоится ли их...

sidletskiy

16.04.2020 05:55

Главные слова к два куска ткани стоят 360руб один из них 5м а другой 4 м сколько стоит каждый кусок ткани?...

Россия111111111111

16.04.2020 05:55

Сравните величины : 200см3 2дм3. 50 дм3. 500000см3 30000мм3. 4см3. 8л. 8000см3 6000дм3. 6м3....

shivaco

16.04.2020 05:55

1)вычисли периметр и площадь фигуры длинна 6 см. ширина 6 см. 2) вычисли периметр и площадь фигуры длинна 2 см. ширина 2 см. 3) вычисли периметр и площадь фигуры длинна...

vhbhvgh

16.04.2020 05:55

Какая орфограмма в словах: страна, морской, знаток. и подберите 3 слова из цитата екатерины 2-й....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку