Приравняв её нулю (достаточно числитель), видим, что имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -2.
Для определения их характера определяем знаки производной на промежутках с учётом, что функция имеет разрыв в точке х = -1.
х = -3 -2 -1,5 -0,5 0 1
у' = 0,75 0 -3 -3 0 0,75 .
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Дана функция у = х²/(1 + х).
Производная равна y' = (x(x + 2))/((1 + x)²).
Приравняв её нулю (достаточно числитель), видим, что имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -2.
Для определения их характера определяем знаки производной на промежутках с учётом, что функция имеет разрыв в точке х = -1.
х = -3 -2 -1,5 -0,5 0 1
у' = 0,75 0 -3 -3 0 0,75 .
Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
В точке х = -2 максимум, в точке х = 0 минимум.
Возрастает на промежутках (-∞; -2) ∪ (0; +∞).
Убывает (-2; -1) ∪ (-1; 0).
ДАНО: y = x²/(1+x).
1. Область определения: х ≠ -1.
2. Производная функции.
Корни производной при х1 = -2 и х2=0
3. Локальные экстремумы.
Ymax(-2) = -4 - максимум, Ymin(0) = 0.
4. Наклонная асимптота. y = x - 1.
На втором рисунке ДЛЯ ОБРАЗЦА.показаны экстремумы, области возрастания и убывания, монотонность.