Примените производную в исследовании функции у= (х в квадрате+3) дробная черта (х в квадрате - 3)

ДАНО

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1.Область определения D(x).

x²- 3 = (x+√3)(x-√3) ≠ 0,  x≠ +/- √3 ≈ +/- 1,73.

Два разрыва - две вертикальные асимптоты.  

Х∈(-∞;-√3)∪(-√3;√3)∪(√3;+∞)  

2. Вертикальные асимптоты - две: Х= -1,73 , Х= 1,73.  На рисунке - зеленые.

3. Пересечение с осью Х. Y=0  - нет.  

4. Пересечение с осью У.  У(0) = -3/3 =  -1.

5. Поведение на бесконечности. Сокращаем на х² - числитель и знаменатель.

limY(-∞) = (1+0)/(1-0) = 1. Справа Y=1. limY(+∞) = 1.  

Горизонтальная асимптота - Y= 1 (на рисунке - красная).

6. Исследование на чётность.Y(-x)  = Y(x).

Функция чётная.  

7. Производная функции. - частное двух функций.

Корень при Х=0.  График первой производной такой же форму, как и на втором рисунке в приложении.

8. Локальные экстремумы.  

Максимум - Y(0) = -1 . Минимума - нет.

9. Интервалы монотонности.  

Возрастает - Х∈[-∞;- √3)∪(-√3;0], убывает -  X∈[0;√3)∪(√3;+∞)

10. Вторая производная - Y"(x). Анализируем  первую производную.  Максимума Y'(x) - нет  - точек перегиба  НА ГРАФИКЕ - нет.  

11. Выпуклая “горка» Х∈(- √3;√3), Вогнутая–«ложка»Х∈(-∞;-√3)∪(√3;+∞).  

12. Поведение в точках разрыва.

lim(-1-)Y(x) = +∞,lim(-1+)Y(x) = -∞,lim(1-)Y(x) =-∞,lim(1+)Y(x) = +∞,  

13. График в приложении.