Кузнечики сидят на крайних левых 15 звеньях цепи длиной в m звеньев, по одному кузнечику на звене. кузнечики играют в чехарду по таким правилам: перепрыгивать можно только вправо, только на свободное звено, и это должно быть либо соседнее звено с тем, на котором ранее сидел прыгающий кузнечик, либо через одно, если соседнее уже занято. при каком наименьшем m все кузнечики смогут сесть на цепи в обратном порядке без свободных звеньев между соседями?

Так как кузнечики не умеют прыгать влево, то понадобится хотя бы 29 звеньев для того, чтобы кузнечики сели в обратном порядке (все должны перепрыгнуть через 15-ого, так что понадобится как минимум 14 звеньев для того, чтобы их разместить). Докажем, что 29 звеньев не хватит. 15-ый кузнечик в таком случае должен будет остаться на своём месте, 14-ый либо останется, либо прыгнет на 16-ое место, так что 13-ый кузнечик не сможет через них перепрыгнуть, так как нельзя прыгать через двух кузнечиков. Докажем теперь, что 30 звеньев хватит. Сперва 15-ый кузнечик прыгает на 16-ое место, затем 13-ый прыгает на 18-ое..., в конце 1-ый прыгает на 30-ое место. Так как кузнечики прыгали только через кузнечиков, стоящих на чётных местах, не было случая, когда кузнечик не смог перепрыгнуть через двух подряд стоящих. Теперь все кузнечики стоят на чётных местах. После этого 2-ой прыгает на 29-ое место, 4-ый - на 27-ое место..., в конце 14-ый прыгает на 17-ое место. Все смогли перепрыгнуть, так как на пути до их места не было кузнечиков на нечётных местах.

ответ: 30 звеньев.