Существует ли натуральное число n такое, число 11n+5 и 19n+2 a) делятся на два б) делятся на три в) найдётся ли такое натуральное число d большеe 1, на которые они оба делятся
Если бы a и b одновременно делились на d, то и любая их комбинация с целыми коэффициентами делилась бы на d. Но 19a-11b=73 не делится ни на 2, ни на 3 (кстати, 73 - простое число). Значит, a и b не могут одновременно делиться на 2, не могут одновременно делиться на 3 - это ответы на первые два пункта. Теперь ответ на третий пункт. Берем d=73 и подбираем n так, чтобы a делилось на 73. Иными словами, нужно найти n и k такие, чтобы 11n+5=73k. Получили так называемое диофантово уравнение. Поскольку 11 и 73 взаимно простые, теория говорит, что уравнение имеет решение в целых числах (и решений бесконечно много). От нас не требуется, судя по условию, найти все решения. Но представить хотя бы одно - дело принципа. Применим метод подбора, переписав уравнение в виде n=(73k-5)/11; n=(77k-4k-5)/11; n=7k-(4k+5)/11. Нужно подобрать k такое, чтобы 4k+5 делилось на 11. Поставляя k=1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, видим что k=7 подходит; при этом n=7·7-(4·7+5)/11=49-3=46;
a=11n+5; b=19n+2. 19a-11b=95-22=73
Если бы a и b одновременно делились на d, то и любая их комбинация с целыми коэффициентами делилась бы на d. Но 19a-11b=73 не делится ни на 2, ни на 3 (кстати, 73 - простое число). Значит, a и b не могут одновременно делиться на 2, не могут одновременно делиться на 3 - это ответы на первые два пункта. Теперь ответ на третий пункт. Берем d=73 и подбираем n так, чтобы a делилось на 73. Иными словами, нужно найти n и k такие, чтобы 11n+5=73k. Получили так называемое диофантово уравнение. Поскольку 11 и 73 взаимно простые, теория говорит, что уравнение имеет решение в целых числах (и решений бесконечно много). От нас не требуется, судя по условию, найти все решения. Но представить хотя бы одно - дело принципа. Применим метод подбора, переписав уравнение в виде n=(73k-5)/11; n=(77k-4k-5)/11; n=7k-(4k+5)/11. Нужно подобрать k такое, чтобы 4k+5 делилось на 11. Поставляя k=1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, видим что k=7 подходит; при этом n=7·7-(4·7+5)/11=49-3=46;
a=11·46+5=506+5=511=73·7; b=19·46+2=874+2=876=73·12
ответы: а) нет; б) нет: в) да