Пусть 1^3+2^3+...+n^3=(1+ 2+ ...+ n)^2=А(очевидно, что А>0) 1) n=1 имеем 1^3=1^2. Верно. 2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1. Тогда исходное равенство примет вид (1^3+2^3+...+n^3)+(n+1)^3=((1+ 2+ ...+ n)+(n+1))^2 A+(n+1)^3=(√А+(n+1))^2 A+(n+1)^3=А+2√А*(n+1)+(n+1))^2 (n+1)^3=2√А*(n+1)+(n+1)^2 Так как n натуральное, то (n+1)>0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1) (n+1)^2=2√А*+(n+1) n^2+2n+1=2(1+ 2+ ...+ n)+n+1 n^2+n=2(1+ 2+ ...+ n) Заметим, что 1+ 2+ ...+ n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n. Тогда n^2+n=2((1+n)/2)*n n^2+n=n^2+n Верно. Значит равенство верно при любых натуральных n
1) n=1
имеем 1^3=1^2. Верно.
2) Допустим, что наше равенство верно для числа n. Докажем, что равенство верно и при n+1.
Тогда исходное равенство примет вид
(1^3+2^3+...+n^3)+(n+1)^3=((1+ 2+ ...+ n)+(n+1))^2
A+(n+1)^3=(√А+(n+1))^2
A+(n+1)^3=А+2√А*(n+1)+(n+1))^2
(n+1)^3=2√А*(n+1)+(n+1)^2
Так как n натуральное, то (n+1)>0, поэтому разделим обе части нашего уравнения на (n+1)
(n+1)^2=2√А*+(n+1)
n^2+2n+1=2(1+ 2+ ...+ n)+n+1
n^2+n=2(1+ 2+ ...+ n)
Заметим, что 1+ 2+ ...+ n - сумма арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, разностью, равной 1. Тогда количество членов в ней равно n.
Тогда
n^2+n=2((1+n)/2)*n
n^2+n=n^2+n
Верно.
Значит равенство верно при любых натуральных n