Пусть A - предел функции f(x) при x⇒x0. Зададим сколь угодно малое число ε>0. Тогда для нахождения δ - окрестности точки x=x0 нужно решить неравенство /f(x)-A/<ε, которое равносильно двойному неравенству A-ε<f(x)<A+ε. В нашем случае x0=3, A=lim(x⇒x0) f(x)=lim(x⇒3) (x-1)/[2*(x+1)]=2/8=1/4=0,25, ε=0,01. Поэтому написанное выше неравенство приобретает вид: 0,25-0,01<(x-1)/[2*(x+1)]<0,25+0,01, или 0,24<(x-1)/[2*(x+1)]<0,26, или 0,48<(x-1)/(x+1)<0,52.
1) Неравенство 0,48<(x-1)/(x+1) имеет решение x∈(-∞;-1)∪(37/13;+∞).
2) Неравенство (x-1)/(x+1)<0,52 имеет решение x∈(-1;19/6).
Таким образом, общим для обоих неравенств является решение x∈(37/13;19/6). Но x0-37/13=3-37/13=2/13, а 19/6-x0=19/6-3=1/6=2/12. Так 2/12>2/13, то поэтому в качестве δ нужно взять положительное число, меньшее, чем 2/13. То есть δ<2/13.
ответ: δ<2/13.
Пошаговое объяснение:
Пусть A - предел функции f(x) при x⇒x0. Зададим сколь угодно малое число ε>0. Тогда для нахождения δ - окрестности точки x=x0 нужно решить неравенство /f(x)-A/<ε, которое равносильно двойному неравенству A-ε<f(x)<A+ε. В нашем случае x0=3, A=lim(x⇒x0) f(x)=lim(x⇒3) (x-1)/[2*(x+1)]=2/8=1/4=0,25, ε=0,01. Поэтому написанное выше неравенство приобретает вид: 0,25-0,01<(x-1)/[2*(x+1)]<0,25+0,01, или 0,24<(x-1)/[2*(x+1)]<0,26, или 0,48<(x-1)/(x+1)<0,52.
1) Неравенство 0,48<(x-1)/(x+1) имеет решение x∈(-∞;-1)∪(37/13;+∞).
2) Неравенство (x-1)/(x+1)<0,52 имеет решение x∈(-1;19/6).
Таким образом, общим для обоих неравенств является решение x∈(37/13;19/6). Но x0-37/13=3-37/13=2/13, а 19/6-x0=19/6-3=1/6=2/12. Так 2/12>2/13, то поэтому в качестве δ нужно взять положительное число, меньшее, чем 2/13. То есть δ<2/13.