Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решить неопределенный интеграл tg^4xdx

Ответ:

Б45

01.09.2020 20:48

$\displaystyle \frac{1}{3}\text{tg}^3\,x -\text{tg}x + x + C$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int \text{tg}^4x dx = \int \frac{\sin^4x}{\cos^4x}dx = \int \frac{(\sin^2x)^2}{\cos^4x}dx = \int \frac{(1-\cos^2 x)^2}{cos^4x}dx = \\ \\ \\= \int \frac{1 - 2\cos^2x+\cos^4x}{cos^4 x}dx = \int \frac{dx}{\cos^4x}-2\int \frac{dx}{\cos^2x} + \int dx$

Найдём интеграл от каждого слагаемого по отдельности

$1) \displaystyle \int \frac{dx}{\cos^4x} = \int \frac{\cos^2x~ d(\text{tg}\,x)}{\cos^4 x} = \int \frac{d(\text{tg}\, x)}{\cos^2 x} = \int (1+\text{tg}^2x)d(\text{tg}\,x) = \\ \\ \\ = \text{tg}\, x+\frac{1}{3}\text{tg}^3\,x$

$2) \displaystyle -2\int \frac{dx}{\cos^2 x} = -2 \int \frac{\cos^2x~d(\text{tg}\,x)}{\cos^2x} = -2 \int d(\text{tg}\,x) = -2\,\text{tg}x$

$3) \displaystyle \int dx = x$

Сложим все слагаемые и получим ответ:

$\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^4x}-2\int \frac{dx}{\cos^2x} + \int dx = \text{tg}\, x+\frac{1}{3}\text{tg}^3\,x -2\,\text{tg}x + x = \frac{1}{3}\text{tg}^3\,x -\text{tg}x + x + C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

pughluy

31.10.2020 01:03

(x+y-1)+(y-x+2)y =0 решить дифф уравнение...

yopof195Pro

19.05.2023 23:29

Вдекабре фермер получил прибыль в размере 438,86 тысячи рублей, а в январе - на 16,4 тысячи рублей больше, чем в декабре. сколько тысяч руб. составила прибыль фермера за декабрь...

kirill994

19.05.2023 23:29

Велосипедист ехал 2 часа со скоростью 18 км/ч и 3 часа со скоростью 16 км/ч найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. одним действитвием и с ! 15...

Никита20220

19.05.2023 23:29

Автомобиль проехал первую часть пути за 2,6 часа со скоростью 78 км ч а вторую часть за 39 часа. с какой скоростью автомобиль проехал вторую часть пути если средняя скорость...

никнейм85

26.10.2021 06:10

Самолет потерпел катастрофу и совершил вынужденную посадку на необитаемом острове. какой тип системы иллюстрирует отношения, складывающиеся между уцелевшими людьми?...

макс3013

26.10.2021 06:10

Сколько весит железный стержень длинной 4 м с прямоугольным сечением шириной 3 см и толщиной 2 см если 1 см3 железа весит 8 г...

svkalin

24.11.2020 00:44

Скільки квадратів зі стороною 8 см можна виготовити із дроту завдовжки 12 дм 8 см?...

лана2661

24.11.2020 00:44

Решите пример надо ! (1,9-1,08*-(7,5)) поделить на 3 целых 1/4 это дробь....

Ясминка2006

24.11.2020 00:44

Найдите: 8% от числа 400 процентов, 42% от числа 75,9% от числа 24 и 40% от числа 60. 10...

superscholnik1772

08.03.2020 11:01

Объясните подробно. почему? почему соблюдение воинских уставов – это безопасность военной службы? читайте внимательно вопрос....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку