Один насос наполняет цистерну на 4 часа,а другой- на 9 часов дольше,чем наполняют эту цистерну оба насоса,работая вместе.за сколько часов может наполнить каждый насос,работая самостоятельно?
Пусть V - объём цистерны, t1 и t2 ч. - время, за которое наполняют цистерну первый и второй насосы соответственно. Тогда за 1 ч. первый насос наполнит V/t1 часть цистерны, второй насос - V/t2 часть цистерны, а работая совместно, оба насоса за 1 ч. наполнят V/t1+V/t2 часть цистерны. Отсюда следует, что при совместной работе оба насоса наполнят цистерну за время t=V/(V/t1+V/t2) ч.По условию, t1=V/(V/t1+V/t2)+4, а t2=V/(V/t1+V/t2)+9. Сокращая оба уравнения на V, получаем систему уравнений:
t1=1/(1/t1+1/t2)+4 t2=1/(1/t1+1/t2)+9
Первое уравнение приводится к виду t1=(t1*t2+4*t1+4*t2)/(t1+t2), второе - к виду t2=(t1*t2+9*t1+9*t2)/(t1+t2). Умножив оба уравнения на знаменатель t1+t2 и сократив подобные члены t1*t2, приходим к системе:
t1²=4*t1+4*t2 t2²=9*t1+9*t2
Разделив второе уравнение на первое, получаем уравнение (t2/t1)²=9/4. А так как t2/t1>0, то t2/t1=√(9/4)=3/2. Отсюда t2=3/2*t1. Используя теперь уравнение t1=t1*t2/(t1+t2)+4 и подставляя в него найденное выражение для t2, приходим к уравнению t1²=10*t1. Сокращая обе части на t1, находим t1=10 ч. Тогда t2=10*3/2=15 ч. ответ: за 10 и за 15 ч.
t1=1/(1/t1+1/t2)+4
t2=1/(1/t1+1/t2)+9
Первое уравнение приводится к виду t1=(t1*t2+4*t1+4*t2)/(t1+t2), второе - к виду t2=(t1*t2+9*t1+9*t2)/(t1+t2). Умножив оба уравнения на знаменатель t1+t2 и сократив подобные члены t1*t2, приходим к системе:
t1²=4*t1+4*t2
t2²=9*t1+9*t2
Разделив второе уравнение на первое, получаем уравнение (t2/t1)²=9/4. А так как t2/t1>0, то t2/t1=√(9/4)=3/2. Отсюда t2=3/2*t1. Используя теперь уравнение t1=t1*t2/(t1+t2)+4 и подставляя в него найденное выражение для t2, приходим к уравнению t1²=10*t1. Сокращая обе части на t1, находим t1=10 ч. Тогда t2=10*3/2=15 ч. ответ: за 10 и за 15 ч.