Сумма трех чисел, составляющих возрастающую прогрессию, равна 26 см, если к этим числам прибавить соответственно 1, 7 и 5, то полученные числа составят арифметическую прогрессию найти знаменатель прогрессии
Пусть a,b,c - числа, составляющие геометрическую прогрессию, q - знаменатель прогрессии. Тогда b=a*q и c=a*q². По условию, a+a*q+a*q²=26. Также по условию a*q+7=a+1+d и a*q²+5=a+1+2*d, где d - разность арифметической прогрессии. Последние два уравнения можно записать в виде a*q+6=a+d и a*q²+4=a+2*d. Получена система трёх уравнений с тремя неизвестными:
a+a*q+a*q²=26 a*q+6=a+d a*q²+4=a+2*d
Из второго уравнения находим d=a*q+6-a. Подставляя это выражение в третье уравнение, приходим к уравнению a*(q²-2*q+1)=a*(q-1)²=8, откуда a=8/(q-1)². Подставляя теперь это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению 8*(q²+q+1)/(q-1)²=26, которое приводится к квадратному уравнению 9*q²-30*q+9=0, или - по сокращении на 3 - к уравнению 3*q²-10*q+3=0. Оно имеет корни q1=3 и q2=1/3, но так как по условию геометрическая прогрессия возрастает, то q=3. ответ: 3.
a+a*q+a*q²=26
a*q+6=a+d
a*q²+4=a+2*d
Из второго уравнения находим d=a*q+6-a. Подставляя это выражение в третье уравнение, приходим к уравнению a*(q²-2*q+1)=a*(q-1)²=8, откуда a=8/(q-1)². Подставляя теперь это выражение в первое уравнение, приходим к уравнению 8*(q²+q+1)/(q-1)²=26, которое приводится к квадратному уравнению 9*q²-30*q+9=0, или - по сокращении на 3 - к уравнению 3*q²-10*q+3=0. Оно имеет корни q1=3 и q2=1/3, но так как по условию геометрическая прогрессия возрастает, то q=3. ответ: 3.