D=b²-4ac. Любое число, делящееся на 4, можно представить в таком виде. В самом деле, пусть D=4k; возьмем b=0; a=1; c=-k. Если b делится на 2, D делится на 4, поэтому новые значения D мы не получим. Если b не делится на 2, b=2n+1, то D=4n²+4n+1-4ac, то есть D в этом случае дает остаток 1 при делении на 4. С другой стороны, любое число, дающее остаток 1 при делении на 4, можно получить в таком виде. В самом деле, если D=4k+1, то можно взять b=1; a=1; c=-k.
Вывод: число является дискриминантом некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами с целыми коэффициентами тогда и только тогда, когда это число делится на 4 или дает остаток 1 при делении на 4. В промежутке [10;30] таких чисел ровно 10.
Если b делится на 2, D делится на 4, поэтому новые значения D мы не получим.
Если b не делится на 2, b=2n+1, то D=4n²+4n+1-4ac, то есть D в этом случае дает остаток 1 при делении на 4. С другой стороны, любое число, дающее остаток 1 при делении на 4, можно получить в таком виде. В самом деле, если D=4k+1, то можно взять b=1; a=1; c=-k.
Вывод: число является дискриминантом некоторого квадратного уравнения с целыми коэффициентами с целыми коэффициентами тогда и только тогда, когда это число делится на 4 или дает остаток 1 при делении на 4. В промежутке [10;30] таких чисел ровно 10.