Какое наибольшее количество чисел можно выбрать из ряда 1,2,…,1447 так, чтобы любая сумма трёх различных выбранных чисел не была выбранным числом?

Число 1474 имеет вид 3k+1. Проведем рассуждение для этого общего случая.
Если оставить все числа от k до 3k+1 включительно, то есть 2k+2 числа, то сумма трех наименьших составит k+(k+1)+(k+2) > 3k+1. Получается, что сумма дизайнер трех различных чисел превышает четвертое.
Покажем, что 2k+3 числа и более оставить уже нельзя. Рассуждая от противного, обозначим через a наименьшее из оставленных чисел. Ясно, что a<=k-1. Следующее по величине оставленное число b не превосходит k. Поэтому a+b<=2k-1. Будем рассматривать пары чисел (со значениями от 1 до 3k+1), в которых разность большего и меньшего составляет a+b. Это пары 1 и a+b+1, 2 и a+b+2, ... , 3k+1-(a+b) и 3k+1. Их количество равно 3k+1-(a+b)>=k+2. Среди них могут быть две пары, в которых наименьшее число равно a или b. Их учитывать не будем. Останется >=k пар чисел вида c и c+a+b, где a, b, c попарно различн Ясно, что вместе с числами a, b, которые в нас уже принять, оба числа из одной пары присутствовать не могут. Тем самым, в каждой из k пар хотя бы одно число не взято, и всего взято по меньшей мере k чисел. Отсюда следует противоречие, так как получается, что взято не более 2k+1 числа, вопреки предположению