При каких значениях параметра a из неравенства x^2 - a(1+a^2)x+a^4 < 0 следует неравенство x^2 + 4x + 3< 0? ( из одного неравенства следует второе, если множество решений первого неравенства содержится в множестве решений второго)
Второе неравенство имеет решение: x^2 + 4x + 3 < 0 (x + 1)(x + 3) < 0 x ∈ (-3; -1) Решение 1 неравенства должно содержать более узкий промежуток. x^2 - a(1 + a^2)*x + a^4 < 0 x^2 - (a + a^3)*x + a^4 < 0 D = (a+a^3)^2 - 4a^4 = a^2+2a^4+a^6-4a^4 = a^2-2a^4+a^6 = (a - a^3)^2 x1 = (a + a^3 - a + a^3)/2 = 2a^3/2 = a^3 x2 = (a + a^3 + a - a^3)/2 = 2a/2 = a Так как промежуток должен умещаться целиком внутри (-3; -1), то ясно, что x1 < -1, x2 < -1, то есть -3 < a^3 < a < -1 Решаем неравенства: { a < -1 { a^3 > -3 a ∈ (-∛3; -1)
x^2 + 4x + 3 < 0
(x + 1)(x + 3) < 0
x ∈ (-3; -1)
Решение 1 неравенства должно содержать более узкий промежуток.
x^2 - a(1 + a^2)*x + a^4 < 0
x^2 - (a + a^3)*x + a^4 < 0
D = (a+a^3)^2 - 4a^4 = a^2+2a^4+a^6-4a^4 = a^2-2a^4+a^6 = (a - a^3)^2
x1 = (a + a^3 - a + a^3)/2 = 2a^3/2 = a^3
x2 = (a + a^3 + a - a^3)/2 = 2a/2 = a
Так как промежуток должен умещаться целиком внутри (-3; -1), то ясно, что x1 < -1, x2 < -1, то есть -3 < a^3 < a < -1
Решаем неравенства:
{ a < -1
{ a^3 > -3
a ∈ (-∛3; -1)