Катя задумала четырехзначное число, сумма цифр которого равна 22. известно, что это число не изменится, если записать его теми же цифрами, но в обратном порядке, и что число, образованное первыми двумя его цифрами, на 63 больше числа, образованное двумя последними цифрами.

Если четырёхзначное число не меняется, если его записать теми же цифрами в обратном порядке, то оно имеет вид abba. 
Сумма цифр a + b + b + a = 2(a + b) = 22, откуда a + b = 11.

Число, образованное первыми двумя цифрами, равно 10a + b. Число, образованнное последними двумя цифрами: 10b + a. Их разность равна 63:
(10a + b) - (10b + a) = 63
9(a - b) = 63
a - b = 7

Получается система из двух уравнений
a + b = 11
a - b = 7

Складываем и вычитаем уравнения:
2a = 11 + 7
2b = 11 - 7

2a = 18
2b = 4

a = 9
b = 2

Число равно 9229.