Войти Регистрация Спроси ai-bota

Докажите методом индукции 1/14+1/47++1/(3n-2)(3n+1)=n/3n+1

Ответ:

пстрвчлвяряу

16.08.2020 14:58

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \dfrac{n}{3n+1}$
Имеем $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$ , Следовательно, утверждение верно при n=1.

Пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.
$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \dfrac{k}{3k+1}$

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \dfrac{k+1}{3k+4}$

Или в самом деле
$\dfrac{1}{1\cdot 4}+ \dfrac{1}{4\cdot 7}+...+ \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}+ \dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} = \dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\~~~~~~\dfrac{k}{3k+1}+\dfrac{1}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\ ~~~~~~~~\dfrac{3k^2+4k+1}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\~~~~~~~~~ \dfrac{(3k+1)(k+1)}{(3k+1)(3k+4)} =\dfrac{k+1}{3k+4}\\ \\ \\~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{k+1}{3k+4}=\dfrac{k+1}{3k+4}$

На основании принципа математической индукции заключаем, что предпо-ложение истинно для любого n ∈ N.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

sofya0skoblova

29.08.2021 04:15

Арман, Берік және Сержан маркаларымен алмасты. Берік өзінің 5 маркасын Сержанға берді. Сержан Арманға 4 марка берді, Арман Берікке 2 марка берді. Нәтижесінде үш балада маркалардың...

aleksbotalov33p00u0t

05.09.2022 19:03

Найти длину дуги кривой y=lnx от х1=3/4 до х2=2.4...

Metalgitarist23

02.09.2022 14:11

В трёх ящиках было 98 кг яблок. В первом ящике в 4 раза меньше чем в третьем, а во втором на 1,6 кг меньше, чем в первом. Сколько кг яблок в каждом ящике....

DendiYT

24.08.2021 20:55

Из колоды карт (36) на удачу вынимают 1 карту. Какова вероятность, что она окажется тузом?...

DOLTONrus

24.08.2021 20:55

Найдите неизвестный член пропорции 2,5 : 7,5 = х : 18...

help274

22.02.2021 02:44

Сумма двух чисел 45,2.одно число меньше другого в 9 раз.найдите эти числа нужно...

romashinigor

04.01.2021 18:58

Мог ли конь на шахматной доске сделать 9 ходов так, чтобы последним из них вернуться обратно? ответ объясните ответ объяснить !...

Настя0330

04.01.2021 18:58

Сэнциклопедии или другой дополнительной , интернета подготовь сообщение об одном из животных между народной красной книги ( по своему выбору). тема сообщения : план сообщения...

Roman789789

21.06.2020 01:55

Укажите верное неравенство с 1 - 4...

mullakaeva85

04.04.2022 09:15

Туристы в первый день км 420 м, во второй- на 970 м больше этого, а в третий день- на 1 км 250 м меньше пути, чем во второй день. сколько километров пути туристы за 3 дня? ...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку