Даны четыре вектора в некотором базисе.показать что векторы a,b,c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. a(4,1,4); b(-2,-1,1); c(3,1,5); d(-3,-2,1)

Вычислим определитель матрицы перехода, составленной из координат векторов
4 5 2
3 0 1 = -27
-1 4 2

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трём и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства

разложив вектор d по базису получим систему уравнений
4x1+5x2+2x3=0
3x1+0x2+1x3=12
-1x1+4x2+2x3=-6

решив систему уравнений получаем
x1=2,x2=-4,x3=6
d=2a-4b+6c