В правильном треугольнике любая биссектриса является медианой и высотой этого треугольника. Пусть сторона данного правильного треугольника равна а (в правильном треугольнике все стороны равны). Тогда рассмотрим один из треугольников, на которые разбивается исходный треугольник этой биссектрисой. Этот треугольник прямоугольный (поскольку биссектриса явл. и высотой), его катеты - это данная биссектриса l = (√3)/3, и (а/2) - поскольку биссектриса является и медианой в правильном треугольнике. Тогда по т. Пифагора для прямоугольного треугольника: a^2 = (a/2)^2 + l^2; (a^2) - (a/2)^2 = l^2 = ((√3)/3)^2 = 3/9 = 1/3, a^2 - (a^2/4) = 1/3; (3/4)*a^2 = 1/3; a^2 = 4/9; a = √(4/9) = 2/3. Нам известны сторона правильного треугольника и высота правильного треугольника (которая явл. и биссектрисой), поэтому по формуле площади треугольника S = (1/2)*a*l = (1/2)*(2/3)*(√3)/3 = (√3)/9
для прямоугольного треугольника:
a^2 = (a/2)^2 + l^2;
(a^2) - (a/2)^2 = l^2 = ((√3)/3)^2 = 3/9 = 1/3,
a^2 - (a^2/4) = 1/3;
(3/4)*a^2 = 1/3;
a^2 = 4/9;
a = √(4/9) = 2/3.
Нам известны сторона правильного треугольника и высота правильного треугольника (которая явл. и биссектрисой), поэтому по формуле площади треугольника
S = (1/2)*a*l = (1/2)*(2/3)*(√3)/3 = (√3)/9