Докажите, что любое натуральное число представимо в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа.

Надо доказать, что для любого натурального n можно найти натуральные A и B, такие что

Заметим, что число n допускает единственное разложение по степеням простых чисел:



Где - неповторяющиеся простые числа. Построим числа A и B по следующему алгоритму. Примем сначала A=B=1. Для каждого k-го множителя в разложении числа n есть два варианта.

1) если степень четная, домножим число A на . Тогда числитель A^2 будет содержать множитель , а так как знаменатель B^3 не содержит такого множителя, частное будет тоже содержать множитель

2) если степень нечетная, домножим A на , а B домножим на . Тогда легко видеть, что отношение A^2 к B^3 будет содержать в степени , что нам и надо

Действуя таким образом, мы построим нужные нам числа A и B