Про некоторую дробь с положительным числителем и знаменателем известно что при увеличении ее числителя и знаменателя на 12 она сама увеличится в 3 раза. найдите все такие несократимые дроби. в ответе укажите сумму дробей обратных к полученным
Пусть a - числитель, b - знаменатель. Тогда числитель и знаменатель после увеличения 12 будут равны: (a + 12) и (b + 12). Новая дробь в 3 раза той, которая была: 3*a/b = (a + 12)/(b + 12); 3a * (b + 12) = b * (a + 12); 3ab + 36a = ab + 12b; 36a = 12b - 2ab; 18a = 6b - ab; 18a = b*(6 - a); Т.к. по условию числитель и знаменатель - положительные, то из последнего выражения имеем 1 ≤ a ≤ 5. Кроме этого a и b не равны нулю, т.к. дроби не будет. Теперь перебираем: a = 1; 18 = b * 5; b = 3.6. Дробь имеет вид 1/3,6. a = 2; 36 = b * 4; b = 9; Дробь 2/9. a = 3; 54 = b * 3; b = 18; Дробь 3/18 = 1/6 сократимая. a = 4; 72 = b * 2; b = 36; Дробь 4/36 = 1/9 сократимая a = 5; 90 = b * 1; b = 90; Дробь 5/90 = 1/18 сократимая Несократимые только две. Переворачиваем их (обратные) и суммируем: 3,6/1 + 9/2 = 3,6 + 4,5 = 8,1
Новая дробь в 3 раза той, которая была:
3*a/b = (a + 12)/(b + 12); 3a * (b + 12) = b * (a + 12); 3ab + 36a = ab + 12b;
36a = 12b - 2ab; 18a = 6b - ab; 18a = b*(6 - a);
Т.к. по условию числитель и знаменатель - положительные, то из последнего выражения имеем 1 ≤ a ≤ 5. Кроме этого a и b не равны нулю, т.к. дроби не будет.
Теперь перебираем:
a = 1; 18 = b * 5; b = 3.6. Дробь имеет вид 1/3,6.
a = 2; 36 = b * 4; b = 9; Дробь 2/9.
a = 3; 54 = b * 3; b = 18; Дробь 3/18 = 1/6 сократимая.
a = 4; 72 = b * 2; b = 36; Дробь 4/36 = 1/9 сократимая
a = 5; 90 = b * 1; b = 90; Дробь 5/90 = 1/18 сократимая
Несократимые только две. Переворачиваем их (обратные) и суммируем:
3,6/1 + 9/2 = 3,6 + 4,5 = 8,1