Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти область значений функции y = cos(x)/((cos(x/2)-sin(x/2))

Ответ:

katrinvar

06.10.2020 14:36

Представим данную функцию в виде $y= \dfrac{\cos(2 \cdot\frac{x}{2}) }{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} }$

используя формулу $\cos2 \alpha =\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha$ , получим

$y= \dfrac{(\cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2} )(\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} )}{\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} }$

Разделим числитель и знаменатель правой части на $\cos \frac{x}{2} -\sin \frac{x}{2} \ne0$ . Будем иметь $y=\cos \frac{x}{2} +\sin \frac{x}{2}$

Теперь умножим и разделим правую часть на $\sqrt{2}$ . Получим

$y= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} +\sin \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} )= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4}+\sin \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4})$

Применяя к правой части этой функции формулу $\cos( \alpha - \beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ , получим $y= \sqrt{2} (\cos \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$

Так как $-1 \leq \cos( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \leq 1$ , то, умножив неравенства на $\sqrt{2}$ , $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \cos( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

Значит, область значений данной функции $D(y)=[-\sqrt{2} ;\sqrt{2} \,]$

0,0(0 оценок)

Ответ:

DanilWolf

06.10.2020 14:36

Y=(cos²(x/2)-sin²(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2))=
=(cos(x/2)+sin(x/2))(cos(x/2)-sin(x/2))/(cos(x/2)-sin(x/2)=
=cos(x/2)+sin(x/2)=sin(π/2-(x/2))+sin(x/2)=
=2sinπ/4cos(π/4-(x/2))=2*√2/2cos(π/4-(x/2))=√2cos(π/4-(x/2)
E(y)∈√2*[-1;1]=[-√2;√2]
ответ [-√2;√2]

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

sprinter99

12.10.2021 08:51

Ворона и мышонок нанизывали ожерелье из камней для кота. у них было 20 камней тигрового глаза и столько же камней кошачьего глаза. они использовали несколько камней...

czar15

14.04.2021 23:01

Для покраски четырёх стен было израсходовано 3 одинаковых бидонакраски.на первую стену ушло 11 кг краски,на вторую-на 3 кг больше,чем на первую,на третью-на 5 кг больше,чем...

РОЗОЧКА37563

14.04.2021 23:01

Арбуз может накапливать нитраты. при каких условиях это происходит? ....

qwertyytrewq0192

14.04.2021 23:01

1) знайди 1/4 від: 2 грн.; 3 грн. 20 к.; 10 грн. 2) запиши у гривнях і копійках: 520 к.; 7050 к.; 40 009 к.; 80 080 к....

NastyKek4556

14.04.2021 23:01

Длина прямоугольника 1м 25см, а ширина в 5 раз меньше.найдите длину стороны квадрата,периметр которого равен периметру этого прямоугольника...

тыпик

14.04.2021 23:01

Почему солнце кажется нам маленьким ?...

anmag

14.04.2021 23:01

Расстояние на местности 230км, а на карте 4,6 см. отрезку какой длины на этой карте соответствует расстояние на местности, равное 575км....

Doshik131

14.04.2021 23:01

День літнього сонцестояння-найдовший день року- триває 16год.30хв. яка тривалість ночі цієї доби?...

хюрем4

14.04.2021 23:01

Решить . школьники во время каникул совершили велосипедный поход .весь путь составил 79,2 км .первые 48,6 км они двигались со скоростью 12,15 км/ч и сделали привал...

guchsuqa

14.04.2021 23:01

Все двузначные числа от 30 до 100, в которых число десятков на 2 больше числа единиц...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку