Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина — алюминиевые массой 10г, а половина — дюралевые массой 9,9г. требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них — одинаково. каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?
я читал решение
здесь массы шаров не нужны
важно лишь то, что одни легче,
а другие тяжелее
( лёгких шариков всего 1000 )
делим шарики на 3 кучки
667 , 667 , 666
если
m(667) ≠ m(667)
то задача решена
а если
m(667) = m(667)
то убираем шарик из одной из этих куч
и взвешиваем с третьей кучей
получаем m(666) ≠ m(666)
{теперь докажу это}
если кучи равны m(667) = m(667)
то и количество лёгких шариков
в них одинаково
пусть
в 1 и во 2 куче по n лёгких шаров
тогда в третьей куче
лёгких шариков 1000–2n
чтобы 3 куча
была равна по весу 1 и 2 куче
нужно чтобы там
тоже было n лёгких шариков
или n–1
(т.к. мы убираем шар из 1 или 2 кучи,
и убранный шар может быть легким)
получается
в третьей куче 1000–2n легких
и одновременно
n легких или n–1
тогда
1000–2n = n
1000–2n = n–1
данные уравнения
не имеют целочисленных решений
решено