За один ход можно заменить пару целых чисел (p, q) или на пару (2p-q, p+4q). можно ли из пары (2, 3) за несколько ходов получить пару (2002, 2003)?

Нельзя.

найдем предпоследнюю пару.
это (1112+1/3, 222+2/3)
т.е. нецелые числа.
начав с (2,3) мы всегда будем получать пары целых чисел
и никогда не сможем выйти на предпоследнюю пару.