15-го января планируется взять кредит в банке на неизвестное колличество месяцев. условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. найдите сколько месяцев он оплачивал долг.
Месяц Долг Платёж Процент
1 х x/m+0,01*x 0,01*x
2 x-x/m x/m+(x-x/m)*0,01 0,01*x*(1-1/m)
3 x-2*x/m x/m+(x-2*x/m)*0,01 0,01*x*(1-2/m)
m x-(m-1)*x/m x/m+(m-1)*x/m 0,01*x*(1-(m-1)/m)
Переплата составила 20%, то есть 0,2*х
Суммируем выплаченные проценты
0,01*х*(1+1-1/m+1-2/m++1-(m-1)/m)=0,2*x
1+1-1/m+1-2/m+...+1-(m-1)m=20
1+1+1+...+1=m (по количеству месяцев)
m-(1/m+2/m++(m-1)/m)=20
1/m+2/m++(m-1)/m - арифметическая прогрессия, где а1=1/m
d=1/m am=(m-1)/m
Сумма арифметической прогрессии S=(a1+am)*m/2=(1/m+(m-1)/m)*m/2=
=m/2
Имеем m-m/2=20 2*m-m=40 m=40 месяцев срок кредитования.