Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычислить приближенно с точностью 0,001 интеграл , разлагая подинтегральную функцию в степенной ряд ∫ от0 до0,5 dx/(1+x^4)^1/4

Ответ:

jelyrotos

01.09.2020 06:55

Разложим функцию f(t)=1/(1+t)^(1/4) около точки t = 0, оставив только первые два члена:

$\dfrac{1}{(1+t)^{1/4}}=1-\dfrac t4+R_1(t)$

Оценим остаточный член, записав его в форме Лагранжа. Мы будем вместо t подставлять x^4, x изменяется от 0 до 0,5, значит, t изменяется от 0 до 1/16.

$R_1(t)=\dfrac{f''(\xi)t^2}{2!},\quad \xi\in\left[0,\dfrac1{16}\right]$
$|R_1(t)|=\left|\dfrac5{16(\xi+1)^{9/4}}\cdot\dfrac{t^2}2\right|\leqslant\dfrac5{16}\cdot\dfrac{1/16^2}{2}\ \textless \ 0.001$

$\displaystyle \int_0^{0.5}(1-x^4/4)\,dx=0.5-\frac{0.5^5}{20}=\frac{319}{640}\approx0.498$

Проверим, что нужная точность достигнута:
$\displaystyle\left|\int_0^{0.5}\frac{dx}{\sqrt[4]{1+x^4}}-\int _0^{0.5}\left(1-\frac{x^4}4\right)\,dx\right|=\left|\int_0^{0.5}R_1(t(x))\,dx\right|\leqslant0.5|R_1|\ \textless \ \\\ \textless \ 0.001$

ответ. 0,498

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Spasibozaotvet4

07.02.2020 08:03

Решить : б) в библиотеке миши всего 124 книги , на и языках .книг на языке в 3 раза больше,чем на . сколько книг на языке в библиотеке миши ? в) сколько пассажиров было...

Бикулова

07.02.2020 08:03

Впервый год в школе было 8 победителей олимпиады а на следующий на 32 победителя больше во сколька раз в первый год победителей было менше чем во второй...

elviracernosazo

07.02.2020 08:03

Если на ветке сидит одна белка а в траве 5 зайцев то сколько в дупле должно сидеть кукушек если их несколько? надо решить этот бред!...

Deencast

07.02.2020 08:03

Представте число 60074 в виде суммы разрядных слагаемых...

dmitrijcazovo81

07.02.2020 08:03

Виразить у годинах та подайте у вигляди мишаного числа з нескоротною дробовою частиною. 1) 370 хв , 2) 450, 3) 552хв ,4) 636 хв...

холера678

07.02.2020 08:03

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее обще кратное чисел 792 и 1188...

1980а1980

07.02.2020 08:03

Если одно из слагаемых увеличить на 35,а другое уменьшить на 9,то...

Екатерина3817

07.02.2020 08:03

Карандаш стоит 6 р а ручка в 4 раза дароже на сколька ручка дороже карандаша в четырех одинаковых наборах 24 фломастера на сколька больше фломастеров в семи таких наборах...

matvey9874

02.03.2020 05:39

Окружающий мир 3класс : как написать проект или нарисовать , транспорт для любознательных пассажиров...

Indira9786876

02.03.2020 05:39

Баба-яга варит волшебное зелье: к 1,5 кг мёда она добавила 100 г растёртых волчьих когтей,100 г дёгтя и 400 г слёз кикиморы . сколько процентов варева составляют слёзы кикиморы?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку