Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти неопределённый интеграл, используя тригонометрическую подстановку

Ответ:

цветочек751

06.10.2020 13:00

$\int \frac{\sqrt{x^2+4}}{x^4} \, dx= [\; x=2tgt\; ,\; x^2+4=4tg^2t+4=4(tg^2t+1)=\frac{4}{cos^2t}\; ,\\\\dx=\frac{2}{cos^2t}\, dt\; ,\; \frac{x}{2}=tgt\; ,\; t=arctg\frac{x}{2}\; ]=$

$\int \frac{\sqrt{\frac{4}{cos^2t}}}{2^4\, tg^4t} \cdot \frac{2\, dt}{cos^2t} =\frac{1}{2^2}\int \frac{dt}{tg^4t\cdot cos^3t}=\frac{1}{4}\int \frac{cost\, dt}{sin^4t} =\\\\= \frac{1}{4}\int \frac{d(sint)}{sin^4t} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(sint)^{-3}}{-3} +C=-\frac{1}{12sin^3t}+C=\\\\=- \frac{1}{12sin^3(arctg\frac{x}{2})} +C=[\; sin(arctg\frac{x}{2})= \frac{x}{\sqrt{4+x^2}}]$

$=- \frac{\sqrt{(4+x^2)^3}}{12\, x^3} +C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

shmiganastya06

07.05.2020 03:13

Help) 1)(sinx+cosx)^2+4cosx -1=0 2)(sinx-cosx)^2-4cosx -1=0...

Hyies

07.05.2020 03:13

Ёжик и белочка собрали 20 грибов, если бы ёжик нашёл ещё 4 гриба то у него стало в 2 раза больше чем у булочки...

SuperSem2003

22.03.2020 03:23

Надо решить уравнение 3*(0.4x+7)-4*(0.8-3)=2 0.6(x+7)-0.5(x-3)=6.8 если что * это знак умножить...

imaria1

22.03.2020 03:23

Реши пример вычитая пр частям 71-58...

alexey2006kost

22.03.2020 03:23

Экстренная ситуация! по какому правилу написаны числа: 1, 2, 8, 28, 100, напишите следующие два чила...

anastasiyaroma11

22.03.2020 03:23

1) 3+2x/x-1=2 решите уравнение. 2) (3x-1)(x+2)/2x в квадрате +5x+2=0 решите уравнение....

qwrt1337

22.03.2020 03:23

Сократите дроби 9х16/8х27 2х3х5/4х9х27...

эля821

22.03.2020 03:23

За ранее ! начерти в одной системе координат графики функций y=x2-4 и y=3x+2 обозначь эти точки пересечения графиков функций и запиши координаты этих точек y= x^{2} -4x...

Юлия7791

22.03.2020 03:23

Постройте треугольник knm у которого угол м=100 градусов, км=мн=32мм.измерте угол к и проведите его биссектрису...

ксения1291

22.03.2020 03:23

Валовой доход предприятия увеличился на 35000 р., но и расходы увеличились на 12000 р. увеличился или уменьшился чистый доход предприятия и на сколько руб.?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку