Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти общее решение дифференциального уравнения: y''(1+sinx)-1=0

Ответ:

Kirill20061337

01.09.2020 06:50

$y''(1+\sin x)-1=0\\ \\ y''= \frac{1}{1+\sin x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$y'= \int\limits {\frac{1}{1+\sin x} } \, dx$

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Пусть $u=tg \frac{x}{2}$ , тогда $\sin x= \frac{2u}{u^2+1};\,\,\,\, \cos x= \frac{1-u^2}{1+u^2}$

Будем иметь

$\displaystyle \int\limits \frac{2du}{u^2+2u+1} = \int\limits\frac{2du}{(u+1)^2} =- \frac{2}{u+1} +C_1=- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1$

$y'=- \dfrac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1$

Интегрируя снова, получаем

$\displaystyle y= \int\limits\bigg(- \frac{2}{tg\frac{x}{2}+1} +C_1\bigg)dx$

Решим интегральчик сначала)

$\displaystyle - \int\limits \frac{2dx}{tg\frac{x}{2}+1}=\bigg\{v=tg \frac{x}{2} \bigg\}=-4 \int\limit \frac{dv}{(v+1)(v^2+1)} =\\ \\ \\ =-2 \int\limits \frac{1-v}{v^2+1}dv -2 \int\limits \frac{1}{v+1} dv=-2arctg v+\ln|v^2+1|-2\ln|v+1|+C=\\\\ \\ =-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C$

Общее решение:

$\boxed{y=-x-2\ln|tg \frac{x}{2} +1|+\ln \frac{1}{\cos^2x} +C_1x+C_2}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

SuperMaksni4ic

23.06.2021 20:25

264037+516600: 900-17080= 450430-196000: 700+98764= расставить действия...

Profesor245

23.06.2021 20:25

Запиши двузначное число приумножение единиц которого на 7 применяется равенство 3*7=21 запиши двузначное число при делении единиц которого на 7 применяется равенство 21: 7=3...

EvaMr

23.06.2021 20:25

В1 детский сад 3 мешка яблок,а во 2 18 мешков яблок.масса всех яблок-630 кг.сколько кг яблок в каждый детский? с : (...

Tasuhka

23.06.2021 20:25

Пряники упаковывают в пакеты по6.сколько всего пакетов нужно, чтоб упаковать 607пряников.сколько пряников останется....

then3rvnyy

23.06.2021 20:25

Решить . корабль отошел от пристани и пошел вверх по течению реки(против течения)скорость корабля в стоячей воде 7.5метров в секунду.через 45 секунд с корабля за борт упала доска...

olegsolomein201

23.06.2021 20:25

30 решите уравнение 9-4х = 3х - 40 0,6х - 5,4= - 0,8х + 5,8 4,7-1,1х = 0,5х -3,3 5/6х + 16 = 4/9х +9...

Надюфка1997

23.06.2021 20:25

Если из цифр 1,2,3,4,6,7,8 создать трёхзначные числа так, что цифры в числе не повторяются, то таких числе будет: а) 21 б) 7 в) 210 г) 14...

Fox00811

23.06.2021 20:25

Как решить приклад по діям0,96/0,16+0,04*2,5...

BELENKAYAEN

23.06.2021 20:25

Из 10 книг, которые стоят на полке, 3 книги можно выбрать : а б в г...

Wilde163

23.06.2021 20:25

Сократите дроби: а)48×8×15/18×16×25= б)25×24×16/32×75×62= в)14/21; 55/77; 140/210 г)12/30; 81/270; 105/165 д)24/60; 75/450; 135/180 е)144/360; 35/105; 240/560 , ! ! если лень делать,...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку