Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны.
Доказательство
Пусть a и b – перпендикулярные прямые, a1 и b1 – параллельные им пересекающиеся прямые. Если прямые a, b, a1, b1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанными в теореме свойством, кА это известно из планиметрии. Предположим, что прямые е лежат в одной плоскости. Тогда прямые a и b лежат в плоскости α, а прямые a1 и b1 – в некоторой плоскости α1. По теореме о признаке параллельных прямых плоскости α и α1 параллельны. Пусть С – точка пересечения прямых a и b, а точка С – точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых a и a1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые a и a1 в точках A и A1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через B и B1 точки ее пересечения с прямыми b и b1. Четырехугольник CAA1C1 и CBB1C1 – параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник ABB1A1 так же параллелограмм. У него стороны AA1, BB1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC1. Следовательно, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые AA1 и BB1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и α1 по параллельным прямым AB и A1B1. Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Δ ABC = ΔA1B1C1 (по третьему признаку равенства треугольников) . ∠ ACB = ∠A1C1B1 = 90º. Следовательно, прямые a1 и b1 перпендикулярны. Теорема доказана.
Теорема
Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны.
Доказательство
Пусть a и b – перпендикулярные прямые, a1 и b1 – параллельные им пересекающиеся прямые.
Если прямые a, b, a1, b1 лежат в одной плоскости, то они обладают указанными в теореме свойством, кА это известно из планиметрии.
Предположим, что прямые е лежат в одной плоскости. Тогда прямые a и b лежат в плоскости α, а прямые a1 и b1 – в некоторой плоскости α1. По теореме о признаке параллельных прямых плоскости α и α1 параллельны. Пусть С – точка пересечения прямых a и b, а точка С – точка пересечения прямых a1 и b1. Проведем в плоскости параллельных прямых a и a1 прямую, параллельную прямой СС1. Она пересечет прямые a и a1 в точках A и A1. В плоскости прямых b и b1 проведем прямую, параллельную прямой СС1, и обозначим через B и B1 точки ее пересечения с прямыми b и b1.
Четырехугольник CAA1C1 и CBB1C1 – параллелограммы, так как у них противолежащие стороны параллельны. Четырехугольник ABB1A1 так же параллелограмм. У него стороны AA1, BB1 параллельны, потому что каждая из них параллельна прямой CC1. Следовательно, четырехугольник лежит в плоскости, проходящей через параллельные прямые AA1 и BB1. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости α и α1 по параллельным прямым AB и A1B1.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Δ ABC = ΔA1B1C1 (по третьему признаку равенства треугольников) . ∠ ACB = ∠A1C1B1 = 90º. Следовательно, прямые a1 и b1 перпендикулярны. Теорема доказана.