Найти такое число, что бы разность между этим числом и его квадратом была наибольшей.

Выразим разность числа и его квадрата как функцию от х: f(x) = x - x².
f'(x) = 1 - 2x
Условие экстремума: f'(x) = 0:
1 - 2x = 0
x = 1/2 - точка экстремума
f'(x) > 0, x < 1/2
f'(x) < 0, x > 1/2,
поэтому x = 1/2 - точка максимума

ответ: x = 1/2.