Формула нахождения объема цилиндра V = πr2 h Поскольку объем цилиндра нам известен, то πr2 h = 128π откуда r2 h = 128 h = 128 / r2 Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом: S = 2πr2 + 2πrh где πr2 - площадь основания цилиндра (площадь круга) 2πr - длина окружности основания Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу S = 2πr2 + 2πrh S = 2πr2 + 2πr * 128 / r2 S = 2πr2 + 256π / r Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию. f(r) = 2πr2 + 256π / r Получим: f '(r) = 4πr - 256π / r2 Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем f '(r) к нулю и решим уравнение. 4πr - 256π / r2 = 0 4πr ( 1 - 64/r ) = 0 4πr = 0 или 1 - 64/r = 0 первый найденный корень уравнения r = 0 отбрасываем, 1 - 64/r = 0 r = 64 Откуда h = 128 / r2 h = 128 / 4096 h = 0.03125 или 1/32 ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см
V = πr2 h
Поскольку объем цилиндра нам известен, то
πr2 h = 128π
откуда
r2 h = 128
h = 128 / r2
Площадь полной поверхности цилиндра равна площади его оснований и площади боковой поверхности. Таким образом, формула площади поверхности цилиндра будет выглядеть следующим образом:
S = 2πr2 + 2πrh
где
πr2 - площадь основания цилиндра (площадь круга)
2πr - длина окружности основания
Подставим значение высоты цилиндра в полученную формулу
S = 2πr2 + 2πrh
S = 2πr2 + 2πr * 128 / r2
S = 2πr2 + 256π / r
Если представить полученную формулу как функцию площади заданного в задаче цилиндра, то минимальная площадь цилиндра будет достигнута в точке экстремума данной функции. Для нахождения экстремума дифференцируем полученную функцию.
f(r) = 2πr2 + 256π / r
Получим:
f '(r) = 4πr - 256π / r2
Поскольку в точке экстремума производная функции равна нулю, приравняем f '(r) к нулю и решим уравнение.
4πr - 256π / r2 = 0
4πr ( 1 - 64/r ) = 0
4πr = 0 или 1 - 64/r = 0
первый найденный корень уравнения r = 0 отбрасываем,
1 - 64/r = 0
r = 64
Откуда
h = 128 / r2
h = 128 / 4096
h = 0.03125 или 1/32
ответ: минимальная площадь цилиндра будет достигнута при h = 1/32 см, r =64 см