Доказать,что если x+y+z=1,то x^2+y^2+z^2> либо равно 1/3

Решение, на мой взгляд, не очень убедительное, но довольно наглядное:

x+y+z=1 образует плоскость;
x^2+y^2+z^2=>1/3 описывает пространство вне сферы, радиус которой sqrt(1/3) (примерно 0,58);

т.о., подставляя координаты точек плоскости в функцию x^2+y^2+z^2, всегда получаем точки, лежащие вне сферы x^2+y^2+z^2=1/3.