За круглым столом сидят гномы. гномы по кругу горшок с золотыми монетами. первый гном взял из горшка 1 монету, второй – 2, третий – 3 и так далее. каждый следующий брал ровно на одну монету больше. оказалось, что на третьем круге гномы суммарно взяли на 338 монет больше, чем на первом. какое наибольшее количество гномов могло сидеть за столом?

Пусть количество гномов, сидящих за круглым столом - x, тогда на первом круге они смогли взять:
S1 = 1 + 2 + 3 ... + x
На втором круге:
S2 = (x+1) + (x+2) + (x + 3) +...+ (x+x) = x * x + S1
На третьем круге:
S3 = ((x+1) +1) + ((x+2) + 2) +  ((x + 3) + 3) +...+ (x+x) = x*x + S2
По условию за третий круг было взято на 338 монет больше, значит
2x*x+S1=S1+338
2x*x=338
x*x=169
x=13

ответ: За столом могли сидеть максимум 13 гномов.