Сколько можно составить вариантов распределения 8 путевок в санатории различного профиля для 14 претендентов.

Это число сочетаний из 14 по 8.
В общем случае число сочетаний из n по k
C(k;n)=n!/(k!(n-k)!).
В данном случае C(8;14)=14!/(8!(14-8)!) = 14!/(8!6!) =
9*10*11*12*13*14/(2*3*4*5*6) = 3003.