Найдите наименьшее число, которое при делении на два даёт в остатке 1, при делении на три - 2, на четыре - 3, на пять - 4, на шесть - 5, на семь - 6, на восемь - 7, на девять - 8, на десять - 9.

Нам требуется найти наименьшее общее кратное  для указанных чисел и вычесть из полученного числа единицу.  За неизвестное число возьмем N 
НОК (2,3,4,5,6,7,8,9,10)=2*3*2*5*7*2*3=2520
N=2520-1=2519
ответ: 2519.