Находим производную заданной функции y=(x²+8x+16)/(x+3). Приравняем её нулю, для чего достаточно приравнять нулю числитель. х²+6х+8 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=6^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x₁=(√4-6)/(2*1)=(2-6)/2=-4/2=-2;x₂=(-√4-6)/(2*1)=(-2-6)/2=-8/2=-4. Получили 2 критические точки: х=-2 и х=-4. Находим значения производной вблизи критических точек. х = -5 -4 -3.5 -2.5 -2 -1 y' = -1.5 0 1.5 -1.5 0 1.5. Учитываем, что функция имеет разрыв в точке х = -3. На промежутках (-∞;-4) и (-2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, на промежутках (-4;-3) и (-3;-2), где производная отрицательна - там функция убывает.
Точки экстремума и экстремумы функции определяем по свойству производной. Когда в критической точке производная меняет знак с + на - там максимум функции, где с - на + там минимум. Точка максимума: х = -4, у = (16-32+16)/(-4+3) = 0. Точка минимума: х = -2, у = (4-16+16)/(-2+3) = 4.
Приравняем её нулю, для чего достаточно приравнять нулю числитель.
х²+6х+8 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=6^2-4*1*8=36-4*8=36-32=4;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√4-6)/(2*1)=(2-6)/2=-4/2=-2;x₂=(-√4-6)/(2*1)=(-2-6)/2=-8/2=-4.
Получили 2 критические точки: х=-2 и х=-4.
Находим значения производной вблизи критических точек.
х = -5 -4 -3.5 -2.5 -2 -1
y' = -1.5 0 1.5 -1.5 0 1.5.
Учитываем, что функция имеет разрыв в точке х = -3.
На промежутках (-∞;-4) и (-2;+∞), где производная положительна - там функция возрастает, на промежутках (-4;-3) и (-3;-2), где производная отрицательна - там функция убывает.
Точки экстремума и экстремумы функции определяем по свойству производной.
Когда в критической точке производная меняет знак с + на - там максимум функции, где с - на + там минимум.
Точка максимума: х = -4, у = (16-32+16)/(-4+3) = 0.
Точка минимума: х = -2, у = (4-16+16)/(-2+3) = 4.