Известно, что если сумма каких-либо трёх натуральных чисел делится на n, то и сумма девятых степеней этих же чисел делится на n. найдите наибольшее возможное натуральное значение n.

Если все три числа делятся на n, то и их сумма, и сумма 9 степеней будет делиться на n. Это очевидно.
Допустим, числа не делятся на n, но их сумма делится.
a=n*k+a1; b=n*m+b1; c=n*p+c1
Сумма остатков равна n.
a1+b1+c1=n
Для n=4 есть вариант, что сумма 9 степеней не делится на 4.
a1=b1=1; c1=2.
(4k+1)^9+(4m+1)^9+(4p+2)^9=
4T+1^9+1^9+2^9=4T+2+8^3=
=4(T+2*8^2)+2 - остаток 2.
Здесь и далее все знаки = означают "имеет такой же остаток".
При n=2,3,5,6 сумма 9 степеней делится на n при любых остатках.
При n=7 опять есть вариант, при котором сумма 9 степеней не делится на 7.
a1=1; b1=2; c1=4
(7k+1)^9+(7m+2)^9+(7p+4)^9=
7T+1^9+2^9+4^9=7T+1+512+64^3=
7T+1+490+22+(7*9+1)^3=
=7T+7*70+21+2+7*R+1=7Q+3
Остаток 3.